adsblog.pl

Automatyka

Co to jest wielomian charakterystyczny układu?

Porównując postacie transmnancji skalarnej G(s) z poprzedniego pytania i z pyt. 2.38. można dokonać kilku spostrzeżeń. Jeśli transmitancją ma mieć postać ilorazu dwóch wielomianów zmiennej s, to. Jest to właśnie wielomian charakterystyczny układu, a zarazem wielomian charakterystyczny macierzy A. Stopień wielomianu charakterystycznego równy n jest oczywiście równy rzędowi układu dynamicznego. Tak więc macierz A i wielomian charakterystyczny pełnią najważniejszą rolę przy określeniu właściwości dynamicznych układu. Od współczynników b i c zależy postać transmitancji. zwłaszcza jej licznika, nie mają one natomiast wpływu na wielomian charakterystyczny. po pierwsze, współczynnik d różny od zera można otrzymać przez podzielenie wielomianów licznika i mianownika, wyłącznie przy równych stopniach tych wielomianów. Po wyłączeniu składnika d (reprezentującego statyczną relacje miedzy wejściem i wyjściem) pozostaje część dynamiczna, w której podstawową rolę pełni człon (vi-A) '. Jest to macierz o wymiarach nxn, której wszystkie elementy są dzielone przez wyznacznik det(sI-A) Wyznacznik macierzy (sl —A) jest wielomianem stopnia n. który identyfikujemy z wielomianem stopnia n występującym w mianowniku transmita ncj i mogą być liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi tworzącymi pary sprzężone. • 2.48 • Jaki związek mają wartości własne z przebiegami dynamicznymi w układzie? Związek ten ma zasadnicze znaczenie. Najlepiej można to pokazać, rozpatrując układ dynamiczny swobodny. Równanie stanu układu swobodnego ma postać (w zapisie wektorowo-macierzowym) x = Ax Rozwiązanie tego równania przy zerowych warunkach początkowych jest trywialne (x - 0), przy przyjęciu natomiast warunków początkowych różnych od zera otrzymuje się tzw. rozwiązanie swobodne. W przypadku układu pierwszego rzędu, tzn. przy równaniu x = ax- x(0) = x° rozwiązanie swobodne ma oczywiście postać x(t) = e»x° (co łatwo sprawdzić i co wynika z metody ogólnej rozwiązywania równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach). W przypadku układu rzędu n rozwiązanie równania x = Ax przy x(0) = x° można zapisać w analogicznej postaci x(/) = Funkcja wykładnicza macierzy kwadratowej jest również macierzą kwadratową i jest określona jako szereg nieskończony analogiczny do otrzymywanego w przypadku zapisu skalarnego: eA/ = I -I- A/ + — A2/2 + -t- A33 + ... Istotne są 2 6 związki: eA/ = I dla / = 0 oraz A- ^ = Ae'. Wyrażenie eA/ jest to tzw. macierz podstawowa rozwiązań układu dynamicznego liniowego. Macierz tę można obliczyć, stosując przekształcenie Laplace'a. Transformując równanie x = Ax, otrzymujemy sX(s) - x° = AX(s) wobec tego transformatę rozwiązania swobodnego można wyrazić jako X(s) = (5l-A)-'x° A więc macierz eA' jest transformatą odwrotną macierzy (sl - A)-1. Wspólnym mianownikiem wszystkich elementów macierzy (sl - A)-1 jest oczywiście wyznacznik det(sl — A), czyli wielomian charakterystyczny, który można zapisać w postaci rozłożonej na czynniki det(sI-A) = (s-S1X.s-.S2) •• (s-s„) Wobec tego transformata odwrotna macierzy (sl - A)~1 powinna zawierać wśród swoich elementów wszystkie wyrażenia o postaci e'"', e2',ev. Wynika stąd ogólny wniosek: tak jak dla układu pierwszego rzędu, gdzie w rozwiązaniu swobodnym pojawił się wyraz e" (przy czym a było wartością własną), również w rozwiązaniu swobodnym układu n-tego rzędu pojawią się wyrażenia typu (i = 1,.... n), przy czym s, są wartościami własnymi. A więc wartości własne determinują możliwą postać rozwiązań sbowodnych układu dynamicznego

Cytat dnia!

“Jak jest zbudowana cyfrowa maszyna matematyczna i czym różni się od maszyny analogowej?

Maszyna cyfrowa jest urządzeniem obliczeniowym operującym liczbami (wynika to zresztą z samej nazwy). Umożliwia ona wykonywanie czterech podstawowych działań arytmetycznych. Struktura maszyny jest przystosowana do wykonywanych zadań — maszyna składa się z arytmometru wykonującego działania arytmetyczne, pamięci zawiera- jącej odpowiedni zasób danych liczbowych oraz program działania maszyny, układu sterowania, organizującego współpracę między poszczególnymi elementami maszyny, oraz urządzeń wejścia i wyjścia umożliwiających wprowadzenie danych i odczyt wyników. Poszczególne operacje maszyny cyfrowej są wykonywane kolejno na podstawie programu zapisanego w pamięci. Podstawową różnicą między obydwoma typami maszyn jest to, że maszyna analogowa wykonuje działania na funkcjach czasu (sygnałach), natomiast maszyna cyfrowa na liczbach. Druga różnica wynika ze sposobu działania maszyn oraz programowania. W maszynie analogowej wszystkie operacje są wykonywane jednocześnie. Jeżeli program zawiera np. kilka operacji dodawania, to każda z nich jest wykonywana za pomocą innego układu operacyjnego, a więc obliczenia są wykonywane równolegle. W maszynie cyfrowej jest tylko jeden arytmometr, jeżeli jest kilka operacji dodawania, są one wykonywane kolejno, jedna za drugą, a więc obliczenia w maszynie cyfrowej są wykonywane szeregowo. Fakt ten wyjaśnia, dlaczego maszyny analogowe są znacznie szybsze niż maszyny cyfrowe. ”